Définition
\(\triangleright\) Définition d'un milieu diélectrique
Un milieu diélectrique est un milieu isolant sans charges mobiles.
Le milieu est globalement neutre, mais il est composé d'entités composés de particules chargées positivement et négativement.
Ce qui veut dire que sous l'effet d'un champ électrique, ces entités vont se déformer car les charges positives et négatives, qui les composent, se déplacent en sens opposé.
Ces entités vont alors se comporter comme des dipôles et vont être à l'origine d'un champ électrique qui va se superposé au champ électrique appliqué
Champ électrostatique
Approximation dipolaire
L'
Approximation dipolaire nous apprend que, dans un milieu diélectrique, le terme prépondérant dans le potentiel du milieu est \(V(M)={{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec p.\vec r}{r^3} }}\) (terme dipolaire)
Avec:
Dipôle électrostatique
\(\triangleright\) Expression du potentiel électrostatique d'un dipôle électrostatique
Le potentiel électrostatique d'un dipôle électrostatique de charge \(q\) et \(-q\) a pour expression, dans le cas de l'approximation dipolaire:
$$V(M)={{\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec p.\vec r}{r^3} }}$$
Avec:- \(\vec p\): le Moment dipolaire
- \(r\): la distance en le point \(M\) et la centre du dipôle
\(\triangleright\) Expression du champ électrostatique d'un dipôle
Le champ électrostatique d'un dipôle électrostatique de charge \(q\) et \(-q\) a pour expression, dans le cas de l'approximation dipolaire:
$$\vec E(M)=\frac1{4\pi \epsilon_0}\left[\frac{3(\vec p.\vec r)}{r^5}\vec r-\frac{\vec p}{r^3}\right]$$
\(\triangleright\) Expression de l'énergie potentielle d'un dipôle électrostatique
L'énergie potentielle d'un dipôle électrostatique de charge \(q\) et \(-q\) a pour expression, dans le cas de l'approximation dipolaire:
$$E_p={{-\vec p.\vec E_{ext} }}$$
Avec:
- \(\vec p\): le Moment dipolaire
- \(E_{ext}\): le champ électrostatique extérieur
Pour les raisons de stabilité, \(E_p\) doit être minimale. Donc le dipôle a tendance à s'orienter pour que \(\vec p\) soit aligné avec \(\vec E_{ext}\).
Polarisation
\(\triangleright\) Définition de la polarisation d'un milieu diélectrique
Lorsque qu'un milieu diélectrique est soumis à un champ électrique, il apparait une polarisation dans ce milieu qui représente le Moment dipolaire par unité de volume et qui va engendrer un nouveau champ électrique.
La polarisation \(\vec P\) s'exprime en \(C.M^{-2}\).- Distribution discrètes de moment dipolaire
$$\vec P={{\sum_{i}\vec p_i}}$$- Distribution volumique de dipôles
$$\vec p={{\iiint \vec P d\tau}}$$
Avec:
\(\triangleright\) Potentiel créé par un diélectrique
Le potentiel créé par un diélectrique de polarisation \(\vec P\) est équivalent à celui créé par une distribution surfacique de charge \(\sigma_p\) et une densité volumique de charge \(\rho_p\).
Ce sont des charges de polarisation d'expression:
$$\sigma_p={{\vec P.\vec n}}$$
$$\rho_p={{-div(\vec P)}}$$
On peut aussi calculer ce potentiel comme:
$$V(M)={{\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\iiint \frac{\vec P(A).\vec{AM} }{AM^3}d\tau}}$$
Avec:- \(\vec P\): la polarisation
\(\triangleright\) Remarques sur les charges de polarisation d'un milieu diélectrique
- Les charges de polarisation d'un milieu diélectrique se compensent.
$$Q_{tot}=0$$- Les charges de polarisation ne sont pas fictives. Elles résultent de l'orientation des dipôles dans le milieu.
Ces charges vérifie obligatoirement la Principe de conservation de la charge, alors on trouve que:
$$\vec j_p={{\frac{\partial \vec P}{\partial t} }}$$
Avec:- \(\vec j_p\): le courant volumique
- \(\vec P\): la polarisation
\(\triangleright\) Remarque sur le potentiel intérieur et extérieur d'un diélectriques
Lorsqu'on s'intéresse au potentiel intérieur d'un diélectrique, on regarde un petit volume de ce dernier et, dans l'Approximation dipolaire, on considère que ce volume est extérieur au diélectrique sans oublier que ce volume contient de charge volumique et surfacique.
Notamment:
$$\vec E_{int}(M)={{-\frac{P(M)}{3\epsilon_0} }}$$
Vecteur excitation électrique
\(\triangleright\) Vecteur excitation électrique
Le vecteur excitation électrique est le champ électrique additionné avec la polarisation du milieu:
$$\vec D={{\epsilon_0\vec E+\vec P}}$$
$$\vec D=\epsilon(1+\chi)\vec E$$
Avec:
Permittivité du milieu
Permittivité d'un milieu
Equations de Maxwell
\(\triangleright\) Equations de Maxwell dans un milieu diélectrique
Dans un milieu diélectrique les Equations de Maxwell sont:
$$div(\vec E)={{\frac{\rho_{l}+\rho_{p} }{\epsilon_0}=\frac{\rho_{l} }{\epsilon} }}$$
$$\vec {rot}(\vec B)={{\mu_0\vec j+\mu_0\frac{\partial \vec D}{\partial t} }}$$
Relations de passage
\(\triangleright\) Relations de passage - milieu diélectrique
Les relations de passage en présence d'un milieu diélectrique sont:
$${{\vec n_{1\to2}\wedge (\vec E_2-\vec E_1)}}={{\vec 0}}$$
$${{\vec n_{1\to 2}.(\vec D_2-\vec D_1)}}={{\sigma_l}}$$
Energies
\(\triangleright\) Densité d'énergie électrique dans un milieu diélectrique
Dans un milieu diélectrique, la densité d'énergie est donnée par:
$$u_e={{\frac{\vec D.\vec E}{2} }}$$
Interprétation macroscopique
Polarisabilité
Champ local de polarisation
$$\theta$$
